Разбор задач тренировочных заданий по кинематике

(2008 г., первый тур олимпиады для 11-х классов)

В большинстве компьютерных вариантов заданий для каждого участника генерируются свои наборы данных

Задание 1 "С какой скоростью движется вторая машина относительно первой (4 балла)".

Две машины приближаются к перекрестку, двигаясь под прямым углом друг к другу со скоростями 54 км/ч и 72 км/ч. С какой скоростью движется вторая машина относительно первой?

Дано:	Перевод единиц:
v₁ = 54 км/ч	15 м/с
v₂ = 72 км/ч	20 м/с
= ?

Решение. Скорости, заданные в условии, измерены относительно системы отсчета, связанной с землей. Уточним обозначение этих скоростей:

, .

Скорость второй машины относительно первой — это скорость второй машины измеренная в системе отсчета, связанной с первой машиной (например, водителем первой машины). Если первая машина двигается относительно земли со скоростью , то в системе отсчета первой машины земля двигается с такой же по величине скоростью, но в обратном направлении:

Для водителя первой машины скорость второй машины будет складываться из ее скорости относительно земли и скорости земли в системе отсчета первой машины:

Величина относительной скорости второй машины v₂₁ равна гипотенузе прямоугольного треугольника, образованного скоростями машин относительно земли. По теореме Пифагора находим:

Заметим, если относительная скорость окажется направленной по линии, соединяющей машины, то продолжая двигаться с такими скоростями, они неминуемо столкнутся!

Ответ: 25 м/с.

Задание 2 "Вычислите среднюю скорость движения человека (8 баллов)"

Вычислите среднюю скорость движения человека, если первую треть пути он шел со скоростью 1,5 м/с, а оставшуюся часть пути со скоростью 1,0 м/с.

Дано:

v₁ = 1,5 м/с

v₂ = 1,0 м/с

= ?

Решение. Согласно общему определению средней скорости:

где S — весь пройденный путь, а t — все время движения.

Времена t₁ и t₂ прохождения первой трети пути и остальных двух третей равны, соответственно

, .

Учитывая, что t = t₁ + t₂ находим

Ответ: 1,125 м/с.

Задание 3 "Найдите ускорение и путь автомобиля (8 баллов)"

Автомобиль, движущийся со скоростью 36 км/ч, разгоняется в течение десяти секунд до 108 км/ч и затем за полминуты сбрасывает скорость до нуля. Считая движение при разгоне и торможении равнопеременным, найдите ускорение и путь для каждого из промежутков времени.

Дано:	Перевод единиц:
v₁ = 36 км/ч	10 м/с
t₁ = 10 c
v₂ = 108 км/ч	30 м/с
t₂ = 0,5 мин	30 c
a₁, S₁, a₂, S₂ = ?

Решение. Применяя формулу скорости для равноускоренного движения в течение времени t₁, получим

откуда

Находим путь, пройденный на участке разгона:

Скорость при торможении машины меняется по формуле

v = v₂ – a₂t, (1)

убывая за время t₂ до v = 0. Подставляя нуль в правую часть уравнения (1), и выражая величину ускорения, получаем

Отметим, что в данном случае проекция ускорения на ось OX отрицательна: a_2x = —a₂ = –1 м/с².

Соответствующий путь составляет

Ответ: a₁ = 2 м/с², S₁ = 200 м, a₂ = 1 м/с² (a₂_x = –1 м/с²), S₂ = 450 м.

Задание 4 "Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом к горизонту (8 баллов)"

Вычислите максимальную высоту подъема тела, брошенного под углом 30 к горизонту со скоростью 20 м/с. Сопротивлением воздуха пренебрегите.

Дано:

= 30

v₀ = 20 м/с

h_max = ?

Решение. Проанализируем, как изменяется со временем проекция скорости на ось OY. Cуществует такой момент времени t₁ = v_0y/g, при котором проекция v_y обращается в нуль. До этого момента времени v_y положительна, то есть тело движется вверх. После момента времени проекция v_y становится отрицательной, то есть тело движется вниз.

Очевидно, что в этот момент времени достигается максимальная высота h_max.:

Используя численные данные, находим:

Ответ: 5 м.

Задание 5 "Модель: Измерьте скорость тележки (8 баллов)"

Задание: Измерьте с помощью оптических датчиков скорость тележки. Занесите результаты в отчёт (меню в верхней части программы) и отошлите отчёт на сервер.
Стойки с датчиками расположите так, чтобы они фиксировали моменты прохождения тележки. Позицию датчиков можно менять мышью или с помощью пункта ввода.
Конечный результат округляйте до сотых. Пример округления: 0,605 можно округлять до 0,60 или до 0,61.

Рис.1 Начальное состояние системы

Для измерения скорости следует установить стойки с датчиками, например, на позиции с координатами x₁=0.2 м и x₂=0.8 м и нажать кнопку “Пуск”. Тележка доедет до противоположной стенки и остановится, а на датчиках появятся показания (рис.2).

Рис.2 Конечное состояние системы

Скорость находим как отношение пути между x₂ и x₁ к затраченному времени t2-t1:

v=(x2-x1)/(t2-t1)

При этом пусть мы сначала ошибемся и напишем v= (0.8-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.6/2.222 м/с = 0.270027 … м/с

(вместо x2=0.9 м написали x2=0.8 м). Округляем до сотых: v=0.27 м/с

Открываем пункт меню “Отчёт…” в верхней части программы, и в появившемся окне вводим это значение (рис.3):

Рис.3 Отсылка отчёта

Нажимаем кнопку “Отправить результаты на сервер” и получаем отзыв с сервера с информацией о неправильном решении:

Рис.4 Результат проверки со стороны сервера

При нажатии кнопки “Закрыть” любая информация в окне отчета сохраняется и показывается вновь при открытии отчета. При нажатии кнопки “Очистить” восстанавливается первоначальное состояние окна отчета с пустыми пунктами ввода.

Мы можем нажать кнопку “Очистить”, затем кнопку “Закрыть”, проверить правильность наших действий и вычислений.

Например, заново проделать измерения при тех же или других расстояниях между датчиками. Обнаруживаем ошибку и исправляем ее:

v=(x2-x1)/(t2-t1) = (0.9-0.2)/(2.5-0.278) м/с = 0.7/2.222 м/с = 0.360036 … м/с

Округляем до сотых: v=0.36 м/с.

Открываем отчет, вводим ответ, отсылаем отчет на сервер и получаем:

Рис.5 Результат проверки нового результата

Итоговый балл за выполнение задания получился 7 из 8 возможных, так как имелась одна дополнительная попытка отсылки результатов на сервер.

Задание 6 "Тест: Кинематика (16 вопросов, 25 баллов)"

Тест будет разбираться в отдельном документе.

Задание 7 "Модель: Измерьте среднюю и мгновенную скорость тележки (12 баллов)"

Задание: По наклонному рельсу из точки с координатой х=0 из состояния покоя начинает равноускоренно двигаться тележка. Определите время движения тележки до её удара о стенку, а также её среднюю и конечную скорость на отрезке от x=0 до x=0.5

Время определите с точностью до тысячных, а остальные величины до сотых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.

Оптические датчики срабатывают при пересечении светового луча датчика флажком тележки. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши или задавая значения их координат х1 и х2 при помощи клавиатуры.

На рис.6 показано начальное состояние системы.

Рис.6 Начальное состояние системы

Первую стойку передвигаем в позицию x1=0.5 м, вторую (с помощью пункта ввода для x2) - в позицию x2=0.99999 м (если x2=1 м тележка не пересекает луч, поэтому ставим стойку очень близко к x=1 м). Нажимаем кнопку “Пуск” и получаем, например, t1=1.443 с, t2=2.041 с (рис.7).

Рис.7 Конечное состояние системы

Полное время движения равно t2. Средняя скорость v_ср движения на отрезке от x=0 м до x=0.5 м равна x1/t1. Конечная скорость v1 движения на этом отрезке в два раза больше, так как при равноускоренном движении v_ср=(v0+v1)/2, а v0=0. То есть v1 проще вычислить чем измерить с достаточной точностью.